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特征值与矩阵的迹和行列式的关系

$$\begin{array}{rl}& {\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=tr(A)\\ & {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|\end{array}$$

代数重数和几何重数

书本内容总览

多项式
线性方程组、矩阵、行列式、二次型
线性空间
线性变换、线性映射
$\lambda$- 矩阵、若尔当标准型
欧几里得空间

研究线性空间的结构及线性映射

第一章：多项式

• 数域 $P$（和差积商）、一元多项式环 $P[x]$（和差积）
• 一元多项式、多项式的相等、零多项式（次数为 $-\mathrm{\infty }$ 或无定义）、首项、首项系数、多项式的次数
• 带余除法、商式余式、整除、整除关系不随系数域的扩大而扩大
• 公因式、最大公因式、最大公因式存在表示定理、碾转相除法、互素
• 因式分解定理、不可约多项式（依赖于系数域）、因式分解及唯一性定理、标准分解式（首 1）
• k 重因式、单因式重因式、微商
• 多项式函数、余数定理、k 重根、单根重根、代数基本定理、复/实系数多项式因式分解定理
• 有理系数多项式、本原多项式、高斯引理、求整系数多项式全部有理根的方法、艾森斯坦判别法
• 对称多项式、对称多项式基本定理

整除 $⟺$ 余式为零
整除性质：

1. 若互相整除，则差一非零常数
2. 整除的传递性
3. 整除多个多项式，则整除他们的组合

组合拳：
整除、最大公因式、互素、不可约多项式、k 重因式、微商

第二章：行列式

• 排列、逆序数、奇/偶排列、对换
• 行列式定义式、行列式性质
• 初等行/列变换、阶梯形矩阵、最简行阶梯形
• 按行/列展开、余子式、代数余子式、范德蒙德行列式、拉普拉斯定理
• 克拉默法则、齐次线性方程组是否有非零解

代数余子式与余子式的关系

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

第三章：线性方程组

• 消元法、初等变换、一般解、自由未知量、增广矩阵
• n 维向量、定义加法数乘、运算规律、n 维向量空间
• 线性组合、线性表出、等价、线性相关、线性相关性的定理、极大线性无关组、向量组的秩
• 矩阵的行秩/列秩、矩阵的 k 阶子式、矩阵的秩、三秩相等、 初等行列变换不改变矩阵的秩、矩阵的秩等于阶梯形矩阵中非零行数目、克拉默法则及其逆定理
• 线性方程组有解判别定理（系数矩阵与增广矩阵有相同的秩）
• 齐次线性方程组的基础解系、导出组、非齐次的解

第四章：矩阵

• 矩阵的运算规律（没有乘法交换律）
• 矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积
• 可逆、伴随矩阵
• 矩阵分块的逆
• 初等矩阵、矩阵等价、矩阵的标准形
• 可逆矩阵的求法

$$rank(A+B)\le rank(A)+rank(B)$$$$rank(AB)\le minrank(A),rank(B)$$

分块矩阵求逆

• 上三角（顺时针）

$${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)$$

副上对角（逆时针）

$${\left(\begin{array}{cc}C& A\\ B& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& B^{-1}\\ A^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\end{array}\right)$$

第五章：二次型

• n 元二次型、X 到 Y 的线性替换、非退化线性替换、二次型的矩阵、合同变换
• 标准形、任意二次型可通过合同变换化成平方和（配方法）
• 复/实二次型的规范形、惯性定理（规范形的唯一性）、正/负惯性指数、符号差
• 任一复/实对称矩阵合同于对角矩阵（其规范形）
• 正定二次型、非退化线性替换保持正定性不变、正定等价于正惯性指数是满的、实对称矩阵的正定性判别

实对称矩阵 $A$正定：二次型 $X^{T}AX$ 正定，
$⟺$ $A$ 与 $E$ 合同
$⟺$ $A$ 的顺序主子式全大于零
$⟹$ $|A|>0$

第六章：线性空间

• 集合、映射、映射的相等、满射、单射、逆映射
• 加法、数乘、8 条规则、线性空间、零元逆元
• 线性组合、线性表出、互相表出称为等价、线性相关、线性无关、n 维无限维
• 基、坐标、维数与数域的选取有关
• 基变换、过渡矩阵、基到基的过渡矩阵可逆
• 线性子空间、零子空间、、平凡/非平凡子空间、解空间、向量组生成的子空间、生成子空间相同的 2 个充要条件、基的扩充
• 子空间的交与和、并不满足线性、维数公式、
• 子空间的直和、补空间、直和的 3 个等价条件
• 线性空间的同构、同构映射、保秩、同维数

第七章：线性变换

• 变换、线性变换的定义
• 数域 P 上，n 维向量空间上的线性变换一定是这种形式，即 $\mathcal{A}:X\to AX\in P^n,\mathrm{\forall }X\in P^n$，其中 $A\in P^{n\times n}$
• 线性变换把线性相关的向量组映成线性相关的向量组，可能把线性无关的向量组也映成线性相关的向量组，如零变换
• 线性变换有两种运算，每个线性变换满足 V 中的元素运算，线性变换之间满足自己的线性运算规则
• 线性变换的逆变换、线性变化的多项式
• 线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵 $A$、相似、投影、
• 特征值、特征向量、矩阵 $A$ 的特征多项式 $|\lambda E-A|$、特征子空间、展开和因式分解有根与系数的关系、相似矩阵有相同的特征多项式、哈密顿 - 凯莱定理（沟通了矩阵与行列式）
• 对角矩阵、利用线性子空间（特征值）、特征向量刻画是否与对角矩阵相似
• 线性变换的值域与核、线性变换的秩与零度、基的合并、线性变换的秩加零度等于线性空间的维度、有限维线性空间中的线性变换是单射等价于是满射
• 不变子空间、可交换的两个线性变换的性质、限制、直和、准对角、矩阵分解与空间分解的关系、将线性空间按特征值分解为不变子空间的直和、根子空间（根子空间比特征子空间大）
• 若尔当块 $J(\lambda ,k)$（根子空间）、若尔当矩阵、若尔当标准型
• 最小多项式、最小多项式是特征多项式的因式、相似矩阵有相同的最小多项式且唯一、准对角矩阵的最小多项式是各分块的最小多项式的最小公倍式、与对角矩阵相似的充要条件

相似的判别方法：

1. 相似定义
2. 是同一线性变换在不同基下的矩阵

等价包含合同与相似，合同与相似有交集

特征值、特征向量的求法：

1. 取一组基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，确定线性变换 $\mathcal{A}$ 在基下的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda E-A|$ 在数域 $P$ 中的根（特征值）
3. 对每个根 ${\lambda }_0$，求 $({\lambda }_{0}E-A)X=0$ 的基础解系 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_m$，令 ${\xi }_i=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n){\eta }_i,1\le i\le m$，则 ${\xi }_i,\dots ,{\xi }_m$ 是 $V_{{\lambda }_0}$ 的一组基

矩阵与其特征值的关系

$$\begin{array}{r}\mathrm{Tr}A=\sum {\lambda }_i\\ detA=\prod _i{\lambda }_i\end{array}$$

相似于对角矩阵的充要条件

第八章：$\lambda$- 矩阵

• $\lambda$- 矩阵、$\lambda$- 矩阵的秩、可逆、可逆的充要条件是其行列式为非零的数
• 初等变换（第三条的乘数是 $\varphi (\lambda )$）、等价、$\lambda$- 矩阵的标准形、如何求标准形
• k 阶行列式因子、标准形是唯一的、不变因子
• $A$ 与 $B$ 相似 $⟺$ 他们的特征矩阵 $\lambda E-A$ 和 $\lambda E-B$ 等价 $⟺$$A$ 与 $B$ 有相同的不变因子
• $\lambda E-A$ 的不变因子简称为 $A$ 的不变因子、$n\times n$ 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n
• 初等因子、两同阶复矩阵相似的充要条件是他们有相同的初等因子
• 若尔当标准形、唯一性、复矩阵与对角矩阵相似的充要条件是其不变因子都没有重根
• 多项式 $d(\lambda )$ 的友矩阵、有理标准形矩阵

第九章：欧几里得空间

• 内积（对称性、线性、正定性）、欧几里得空间、长度、单位向量、柯西 - 布尼亚科夫斯基不等式、向量夹角、正交、度量矩阵、度量矩阵完全决定内积
• 正交向量组、正交基、标准正交基、标准正交基的内积表示、n 维欧氏空间中标准正交基一定存在、任一个正交向量组都能扩充成一组正交基、施密特正交化（Schmidt）、正交矩阵
• 同构、同构映射（线性、保内积）
• 正交变换、四个等价命题
• 子空间的正交、向量与子空间的正交、正交补
• 对称变换、对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵
• 对于任意一个 n 阶实对称矩阵 $A$，都存在一个 n 阶正交矩阵 $T$，使 $T^{T}AT=T^{-1}AT$ 成对角形（$A$ 与对角矩阵相似且合同，$T$ 正交）
• 距离、最小二乘
• 酉空间、内积、酉变换、埃尔米特矩阵